Савичев родился в Брянске, там же начинал заниматься футболом. Позже выступал в системе раменского «Сатурна» и московского «Спартака», став победителем первенства России с молодежной командой «Спартака» и выиграв зону «Запад» ПФЛ со «Спартаком-2».
В сезоне 2017/2018 защитник дебютировал в РПЛ в составе «СКА-Хабаровска», сыграв за красно-синих 18 матчей в элитном дивизионе российского футбола и забив один мяч в игре против «Ахмата». В дальнейшем футболист выступал за «Енисей» (Красноярск), «Анжи» (Махачкала), «Чайку» (Песчанокопское) и «Торпедо» (Москва), где он провел весеннюю часть прошлого сезона.
Но самый яркий этап в карьере опытного защитника пришелся на тольяттинский «Акрон», в котором Константин Савичев был капитаном команды. Вместе с ней он завоевал бронзовые медали ФНЛ и вышел в РПЛ, а также дошел до финала Кубка России по футболу в сезоне 2022/2023 годов. Сейчас же он снова будет играть за «СКА-Хабаровск».