Квашнин скончался в Главном военном клиническом госпитале имени Бурденко в Москве. У него был коронавирус.
«Такая информация по поводу Анатолия Васильевича. Он месяц лежал с ковидом, состояние ухудшалось. Вчера ухудшилось настолько, что его перевезли в Бурденко и чуть ли не начали готовить к операции. А ночью он скончался от инфаркта», — приводит "Gazeta.ru" слова источника в вооруженных силах.
Квашнин возглавлял Генштаб вооруженных сил РФ с 1997 по 2004 год. С сентября 2004 года по 2010 год занимал должность полномочного представителя Президента РФ в Сибирском федеральном округе.