Максим Жаркой родился 24 апреля 1997 года в селе Кудара-Сомон Республики Бурятия. В школьные годы Максим был активным учеником — участвовал в акциях, оказывал помощь ветеранам Великой Отечественной войны, был участником волонтерского отряда, помогал пожилым, устраивал патриотические и музыкальные вечера. После окончания школы в 2012 году поступил в Восточно-Сибирский государственный университет технологий и управления.
В 2015 году Максим был призван в армию. Срочную службу проходил в военной части в поселке Песчанка в Чите. В 2017 году он заключил контракт о прохождении военной службы в отдельной мотострелковой бригаде. В 2019 году участвовал в главных учениях Российской армии «Центр-2019», а в 2021 году стал чемпионом восточного военного округа по танковому биатлону и принимал участие в международных российско-монгольских учениях «Селенга-2021». За время службы был награжден медалью за боевое содружество и медалью за воинскую доблесть степени.
Погиб в ходе спецоперации на Украине, награжден орденом Мужества посмертно. Прощание с бойцом прошло в родном селе. У него остались жена и сын.